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Ciencias y letras por Salvador Ruíz Fargueta

Ciencias y letras, trata de acercar las dos culturas , favorecer su mestizaje. En realidad, sólo es una cultura que nos puede acercar más a nosotros mismos, a las complejas relaciones humanas, al mundo y a sus interrogantes. El autor, ingeniero y físico, es editor de La bella teoría. Publica los días 1 de cada mes.

Sobre ángulos y triángulos

Algo de historia.La trigonometría es una rama de las matemáticas que desempeña un importante papel tanto en la matemáticas puras como en las aplicadas. Etimológicamente la palabra trigonometría deriva de dos vocablos griegos “triángulo” y “medida”. En sus orígenes eminentemente prácticos, como ocurre con todas las ciencias, se ocupaba de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo para medir distancias y extensiones de terreno por triangulación (trazado de triángulos virtuales en base a distancias reales). Ya fue usada por los babilónicos y los egipcios para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de edificios. También permitió avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes, y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.

Pasó a Grecia donde el matemático y astrónomo Hiparco de Nicea (siglo II a.C.) fue uno de sus principales desarrolladores. Las tablas de cuerdas que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. Trescientos años después, el Almagesto del astrónomo Claudio Tolomeo de Alejandría fue durante muchos siglos la introducción básica a la trigonometría para los astrónomos. Con las llamadas razones trigonométricas básicas que son el seno, coseno y tangente de un ángulo y uno de los lados de un triángulo, se puede averiguar el valor de cualquiera de los otros dos, lo que permite efectuar medidas muy difíciles en base a otras más sencillas de realizar.

Caso práctico.Una aplicación práctica, sencilla de entender, podría ser la medición de la altura de una torre (ver figura). Trazamos un triángulo con los siguientes lados: el primero desde el punto (P) de observación a la base (B), el segundo desde la base a la cumbre ( C) y el tercero desde ésta al punto de observación. De este triángulo sabemos la distancia a la torre y el ángulo de observación A, e ignoramos la altura. De las tres relaciones trigonometrías nos fijamos en la que intervienen la distancia ignorada y la que sabemos. La relación buscada, en nuestro caso, es la tangente que, finalmente, con una simple multiplicación nos da el valor de la altura: altura = (tangente de A) x (distancia a la base).

Triángulo rectángulo y fórmula fundamental.El triángulo formado por la torre—distancia a base de torre—distancia a cumbre, es un triángulo llamado rectángulo. La distancia mayor se llama hipotenusa, y las otras dos distancias catetos. Midiendo un solo ángulo, el A, podemos saber los tres, pues los otros dos son el ángulo recto de la Base (90º) y el otro tendrá el valor (90º – A). Del famoso teorema de Pitágoras, que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, podemos establecer la fórmula fundamental de la trigonometría que relaciona el seno y el coseno: (seno A)2 + (cos A)2 = 1, pues para un valor igual a 1 de la hipotenusa, uno de los catetos es el seno y el otro el coseno. La otra expresión importante que relaciona las tres razones trigonométricas es : seno/coseno = tangente (comprobarlo dividiendo la expresión del seno por el coseno).

Cálculo de unas tablas trigonométricas.En realidad todo es mucho más sencillo de lo que parece. Imaginemos que nos dedicamos a medir la altura de diferentes tipos de edificios, y para ello contamos con dos instrumentos un carrito medidor de distancias y un dispositivo para medir ángulos. Si no disponemos de una calculadora ni una tabla trigonométrica, tendremos que confeccionarnos nuestra propia tabla. Para ello tomaremos papel y lapiz y nos iremos dibujando triángulos rectángulos como el de la figura con diferentes ángulos A. Sobre el papel mediremos la altura y la distancia a la base, para 5º, para 10º, para 15º, etc. y dividiremos, una por la otra, esas distancias. A continuación, en la tabla que llamaremos de tangentes, pondremos los resultados de las divisiones junto con sus ángulos correspondientes: 5º—-0,087; 10º—-0,176; 15º—-0,268; … etc. Vamos creando parejas de números, el primero es el ángulo y el segundo la tangente. Podemos observar que conforme aumenta el ángulo también aumenta la tangente, y, por tanto, la relación entre la altura y la distancia a la base. Así habremos creado una tabla que nos permitirá calcular las alturas de los edificios, midiendo con el carrito la distancia del punto (P) de observación a la base (B) y el ángulo correspondiente.

De las relaciones entre los lados de un triángulo equilátero, que se desarrollaron a partir de un interés práctico evidente, surgió una rama de las matemáticas ligada de forma intrincada a todas las demás, como nos muestra una de las más bellas y profundas expresiones matemáticas, llamada fórmula de Euler: eix = cos x + i sen x. Combina algo tan real como esas relaciones entre los lados, que podemos encontrarnos en cualquier problema de medidas en la vida cotidiana, con un extraño e importantísimo, para las matemáticas, número e y con el número i, base de los llamados números imaginarios. Toda una pasada.

Salvador Ruiz Fargueta | 01 de abril de 2009

Comentarios

  1. isaac
    2009-07-19 19:03

    Buenas tengo un problema y es que midiendo las distancias con un telemetro este no me resta el angulo que existe con relacion a la distancia real. Me explico: Al medir la ascencion de un pajaro, no soy capaz de saber la distancia real pues no capto al animal en mi vertical sino con algo de angulo. ¿Existe alguna forma de saberlo? Disculpa mi ignorancia

  2. Salvador
    2009-07-20 16:12

    Por lo que dices, debes averiguar ese ángulo y dividir la distancia que te da el telémetro por el coseno de ese ángulo.

    Tal como he entendido, el telémetro te da algo parecido a la distancia PC (de la figura) y tu quieres averiguar la distancia BP.

    Un saludo

  3. laura leon ramirez
    2009-08-23 12:36

    me ayudaron mucho sus libros pero desgraciadamente no pude encontrar el bosquejo historico de la trigonometria, si me pudieran ayudar se los agradeceria.

  4. Leandro
    2010-04-17 09:08

    Hola que tal, tengo una consulta, quiero averiguar los ángulos de un triángulo escaleno, sabiendo sólo la medida de sus lados. ¿Es posible? Gracias.

  5. Salvador
    2010-04-19 18:50

    Es posible. Debes utilizar el teorema de los senos:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_seno y después tener en cuenta que la suma de los tres ángulos debe ser 180º. Con esto puedes conseguir un sistema de dos ecuaciones con sólo 2 incógnitas. Las incógnitas son dos de los senos. Cuando los calcules sabrás, finalmente, los ángulos.

    Saludos.

  6. Salvador
    2010-05-12 17:41

    Es mucho más fácil, se puede utilizar el teorema de los cosenos. Una generalización del teorema de Pitágoras. Nos da los ángulos de forma directa (lapsus mío):

    http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno

  7. andrea
    2013-07-20 08:00

    hay que bueno esta pagina sisi co
    mo no



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