A finales del siglo XIX el original matemático Georg Cantor propuso una bella teoría sobre los números infinitos, según la cual el número total de números fraccionarios, enteros y naturales son el mismo número transfinito al que llamó Aleph sub-cero.

A primera vista no parece algo razonable, pues se podría pensar que el número de enteros es mayor que el número de naturales, ya que todo número natural es un entero mientras que algunos enteros (los negativos) no son números naturales. De forma similar se podría pensar, también, que el número de fracciones es mayor que el de enteros, pero una cosa es lo que parece y otra lo que es.

La clave está en las extrañas propiedades de los números infinitos y las relaciones que se pueden establecer entre ellos. Para objetos finitos de dos conjuntos diferentes si podemos establecer una “correspondencia uno-a-uno”, entre ambos, se puede deducir que tienen el mismo número de elementos. Para un número finito de números naturales ocurre lo mismo, pero lo que es evidente para números finitos deja de serlo para infinitos.

El gran matemático David Hilbert se inventó la metáfora del Hotel Infinito para explicar de forma intuitiva las paradojas a las que nos enfrenta la existencia de infinidad de infinitos:

“Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: ‘ya sé lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mí. El gerente encontró maravillosa esta solución y así lo hizo”. Lo curioso del caso es que siempre que el número de nuevos huéspedes sea finito la cosa funciona igual.

Los conjuntos que pueden ser puestos en correspondencia uno-a-uno con los números naturales se llaman numerables, de modo que los conjuntos infinitos numerables tienen aleph sub-cero elementos.

Después todo esto podríamos pensar que todos los conjuntos infinitos son numerables, pero no es así, no sólo hay un tipo de infinito, pues la situación es muy diferente al pasar a los números reales. Cantor demostró mediante el argumento del corte diagonal que realmente hay más números reales que racionales. El número de reales es el número transfinito C, de continuo, otro nombre que recibe el sistema de los números reales.

Podríamos pensar en darle a ese número el nombre de aleph sub-uno, por ejemplo. Pero ese nombre representa el siguiente número transfinito mayor que aleph sub-cero y el decidir si efectivamente C = Aleph sub-uno constituye un famoso problema no resuelto, la llamada hipótesis del continuo .

El infinito era una especie de cajón de sastre donde se metía todo lo que se nos antojaba tan enorme como incomprensible. Cantor descubrió una estructura de orden dentro de ese cajón y la existencia de diversos infinitos.

Nota: Los distintos tipos de números